定義 (零行列)
すべての要素が0である行列を零行列といい、$\ O\ $で表す。

定義 (単位行列)
$n\ $次正方行列のうち、$\ m\ $行$\ m\ $列の成分がすべて1であり、それ以外の要素がすべて0であるようなものを、$\ n\ $次単位行列と言い、$\ E_n\ $で表す。

定義 (行ベクトル･列ベクトル)
$\ 1\times n \ $の行列を行ベクトルという。
$\ n\times 1 \ $の行列を列ベクトルという。

定義 (区分行列)
任意の大きさの行列に対し、その行列をより小さな行列を要素とする行列と考えたとき、その各々を元の行列の区分行列という。

定義
同じ型の行列$\ A,\ B\ $に対し、その和と差を次のように定義する。
\[
A\pm B=\pmatrix{
a_{11}\pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \cdots & a_{1n}\pm b_{1n}\\
a_{21}\pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \cdots & a_{1n}\pm b_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}\pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & \cdots & a_{mn}\pm b_{mn}\\
}\]

定義
任意の行列$\ A\ $に対し、そのスカラー倍を次のように定義する。
\[
kA=\pmatrix{
ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\\
ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn}\\
}\]

定義
$m \times n\ $行列$\ A\ $および$\ n \times l\ $行列$\ B\ $に対し、その積を次のように定める。
\[
AB=\pmatrix{
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1l}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{ml}\\
},\
c_{ij}=\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}}
\]

定理
それぞれの演算が定義できるように選んだ任意の行列に対し、次の性質が存在する。
\[\begin{array}{ll}
\mbox{・和は常に可換:} & A+B=B +A\\
\mbox{・和は常に結合的:} & (A+B)+C=A+(B+C)\\
\mbox{・積は一般に非可換:} & AB \not= BA\\
\mbox{・積は常に結合的:} & (AB)C = A(BC)\\
\mbox{・積は加法の上に常に分配的:} & (A+B)C=AC+BC,\ A(B+C)=AB+AC\\
\mbox{・単位行列との積は常に可換:} & AE=EA=A\\
\mbox{・零行列との積は常に可換:} & AO=OA=O
\end{array}\]

定義 (行列式)
一般に、$\ n\ $次正方行列$\  A\ $に対して、その行列式$\ \det(A)\ $を次のように定義する。
\[
\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i \sigma(i)}
\]特に、2次正方行列$\ A=\pmatrix{a & b\\ c & d}\ $については、$\ \det(A)=ad-bc\ $である。

定義 (正則行列･逆行列)
一般に、$\ n\ $次正方行列$\  A\ $に対して、$ \ AB=BA=E_n\ $を満たすような行列$\ B\ $が存在するとき、$\ A\ $は正則であるという。
正則な行列$\ A\ $に対し、この行列$\ B\ $はただ一つに定まり、これを$\ A\ $の逆行列という。

定理
二次正方行列$\ A=\pmatrix{a & b \\ c & d}\ $の逆行列は、$\ |A|\not=0\ $である限り定義され、次のようにあらわされる。
\[
A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}\pmatrix{d & -b\\ -c & a}
\]

定理
任意の同次の正方行列$\ A,B\ $と単位行列$\ E\ $に対して、次の式が常に成り立つ。
\[
|E|=1\\
|AB|=|A||B|\\
|A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|}\\
AA^{-1}=A^{-1}A=E\\
\]

定義 (固有値・固有ベクトル)
線型変換$\ A\ $において、$\ A\Bbb x=\lambda\Bbb x\ $を満たすような0でないベクトル$\ \Bbb x\ $を、この線型変換の固有ベクトル、定数$\ \lambda\ $を固有値という。

例題
行列$\ A=\pmatrix{1 & -1\\ 2 & 4}\ $において、その固有値と固有ベクトルを求めよ。

$A\Bbb x=\lambda\Bbb x\ $の両辺に単位行列を掛けても意味は変わらないので、
$(A-\lambda E)\Bbb x=O\ $という式が導かれる。
この方程式が0でない解を持つためには、$\ |A-\lambda E|=0\ $でなければならない。よって、
$ |A-\lambda E|=\det\left( \pmatrix{1 & -1\\ 2 & 4}-\lambda\pmatrix{1 & 0\\ 0 & 1}\right)=(\lambda-3)(\lambda-2)=0\ $
したがって、この行列$\ A\ $の固有値は、$\ \lambda=2,3\ $である。

$\lambda=2\ $のとき、固有ベクトル$\ \Bbb x=\pmatrix{x\\y}\ $は、
$(A-2E)\Bbb x=\pmatrix{-1 & -1\\ 2 & 2}\pmatrix{x\\ y}=\pmatrix{-x-y\\ 2x+2y}=O\ $より、
$\ \Bbb x=\pmatrix{k\\ -k}\ $である。
$\lambda=3\ $のとき、固有ベクトル$\ \Bbb x=\pmatrix{x\\y}\ $は、
$(A-3E)\Bbb x=\pmatrix{-2 & -1\\ 2 & 1}\pmatrix{x\\ y}=\pmatrix{-2x-y\\ 2x+y}=O\ $より、
$\ \Bbb x=\pmatrix{k\\ -2k}\ $である。

定理 (恒等変換)
任意の$\ n\ $次元空間ベクトルに対し、$\ n\ $次元単位行列$\ E_n\ $は恒等変換をあらわす。

定理 (拡大変換)
任意の$\ n\ $次元空間ベクトルに対し、$\ n\ $次元単位行列のスカラー倍$\ kE_n\ $は、拡大変換をあらわす。
任意の$\ n\ $次元空間ベクトルに対し、線型変換$\ A\ $のスカラー倍$\ kA\ $は、元の線型変換$\ A\ $についての拡大変換をあらわす。

定理 (回転移動)
任意の平面ベクトルに対し、線型変換$\ \pmatrix{\cos\phi & -\sin\phi\\ \sin\phi & \cos\phi}\ $は、座標平面の原点を中心とし、反時計回りに$\ \phi\ $回転する回転移動をあらわす。

定理 (合成変換)
任意の変換$\ A\ $および$\ B\ $を、この順番で行った合成変換は、行列$\ BA\ $であらわされる。
行列の積の非可換性から、合成変換も同様に非可換である。
拡大変換および回転移動は互いに可換な変換である。すなわち、拡大してから回転したものと、回転してから拡大したものは常に同じ変換をあらわす。

定理 (軸に関する対称移動)
変換$\ \pmatrix{1 & 0\\ 0 & -1}\ $は、座標平面の$\ x\ $軸に関する対称移動をあらわす。
変換$\ \pmatrix{-1 & 0\\ 0 & 1}\ $は、座標平面の$\ y\ $軸に関する対称移動をあらわす。

例題
直線$\ y=\sqrt{3}x\ $に関する対称移動をあらわす行列を求めよ。

求める行列のあらわす変換は、$\ -\cfrac{\pi}{3}\ $回転移動し、$\ x\ $軸に関して対称移動し、$\ \cfrac{\pi}{3}\ $回転させる合成変換と同じである。よって、求める行列は、
\[
\pmatrix{\cos\cfrac{\pi}{3} & -\sin\cfrac{\pi}{3}\\ \sin\cfrac{\pi}{3} & \cos\cfrac{\pi}{3}}
\pmatrix{1 & 0\\ 0 & 1}
\pmatrix{\cos\left(-\cfrac{\pi}{3}\right) & -\sin\left(-\cfrac{\pi}{3}\right)\\ \sin\left(-\cfrac{\pi}{3}\right) & \cos\left(-\cfrac{\pi}{3}\right)}=
\cfrac{1}{2}\pmatrix{-1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1}
\]

定理 (原点を通る直線に関する対称移動)
変換$\ \pmatrix{\cos2\phi & \sin2\phi\\ \sin2\phi & -\cos2\phi}\ $は、直線$\ y=(\tan\phi)x\ $に関する対称移動をあらわす。

アフィン行列
$\ \pmatrix{a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1}\ $をアフィン行列と言う。

アフィン変換
$\ \pmatrix{a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1}\pmatrix{x\\ y\\ 1} = \pmatrix{x'\\ y'\\ 1}\ $

定理 (拡大変換をあらわすアフィン変換)
アフィン変換$\ \pmatrix{a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 1}$は、$\ x\ $軸に$\ a\ $倍、$\ y\ $軸に$\ b\ $倍拡大する変換をあらわす。

定理 (回転移動をあらわすアフィン変換)
アフィン変換$\ \pmatrix{\cos\phi & -\sin\phi & 0\\ \sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1}\ $は、座標平面の原点を中心とし、反時計回りに$\ \phi\ $回転する回転移動をあらわす。

定理 (一次変換をあらわすアフィン変換)
アフィン変換$\ \pmatrix{a & b & 0\\ c & d & 0\\ 0 & 0 & 1}\ $は、一次変換$\ \pmatrix{a & b\\ c & d}\ $と等価な変換をあらわす。

$\ \pmatrix{a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1}\pmatrix{x\\ y\\ 1} = \pmatrix{x + \Delta x\\ y + \Delta y\\ 1}\ $

$\ \pmatrix{a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1}\pmatrix{x\\ y\\ 1} = \pmatrix{ax + by + c\\ dx + ey +f\\ 1}\ $

$\ \pmatrix{ax + by + c\\ dx + ey +f\\ 1} = \pmatrix{x + \Delta x\\ y + \Delta y\\ 1}\ $

定理 (平行移動をあらわすアフィン変換)
アフィン変換$\ \pmatrix{1 & 0 & \Delta x\\ 0 & 1 & \Delta y\\ 0 & 0 & 1}\ $は、$\ x\ $軸方向に$\ \Delta x\ $, $\ y\ $軸方向に$\ \Delta y\ $動かす平行移動をあらわす。

定理 (アフィン行列の行列式および逆行列)
アフィン行列$\ \pmatrix{a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1}$の行列式$\ \Delta\ $は、$\ \Delta = ae - bd\ $であらわされる。
アフィン行列の逆行列は$\ \Delta \ne 0\ $の時に定義されて、$\ \cfrac{1}{\Delta}\pmatrix{e & -b & bf - ce\\ -d & a & cd - fa\\ 0 & 0 & \Delta}$とあらわされる。

例題
座標平面上の任意の点$\ (a, b)\ $を中心とし、反時計回りに$\ \phi\ $回転する変換をあらわす行列を求めよ。

求める行列のあらわす変換は、$\ (-a, -b)\ $平行移動し、$\ \phi\ $回転移動し、そして$\ (a, b)\ $平行移動させる合成変換と同じである。よって、求める行列は、
\[
\pmatrix{ 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 }
\pmatrix{ \cos \phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1}
\pmatrix{ 1 & 0 & -a\\ 0 & 1 & -b\\ 0 & 0 & 1}=
\pmatrix{ \cos\phi & -\sin\phi & -a\cos\phi +b\sin\phi +a\\ \sin\phi & \cos\phi & -a\sin\phi -b\cos\phi +b \\ 0 & 0 & 1}
\]